Question

設(shè)函數(shù)，．

⑴求的極值；

(2)設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），若使≤≤在上恒成立的實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)和的值；

(3)討論方程的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：⑴令，得，

區(qū)間分別單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，

于是當(dāng)時(shí)，有極大值時(shí)，有極小值；

(2)由已知得在上恒成立，

由得   時(shí)，，時(shí)，，

故時(shí)，函數(shù)取到最小值.從而；

同樣的，在上恒成立，

由得  時(shí)，；  時(shí)，，

故時(shí)，函數(shù)取到最小值.  從而，

由的唯一性知，；

(3)記=

①當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于，此時(shí)方程無(wú)解；

②當(dāng)時(shí)，在定義域上為增函數(shù).

，，所以，此時(shí)方程有唯一解。

③當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù)

所以，當(dāng)時(shí)，  

（a）當(dāng)時(shí)，  ，所以，此時(shí)方程無(wú)解

（b）當(dāng)   時(shí)，  ，所以，此時(shí)方程有唯一解

（c）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208384084371178/SYS201205220840446562158693_DA.files/image042.png">且，所以方程在區(qū)間上有唯一解，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以    

所以  

因?yàn)?nbsp; ，所以

所以  方程在區(qū)間上有唯一解.

所以，此時(shí)方程有兩解.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，      方程無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，  方程有唯一解；             

當(dāng)時(shí)，         方程有兩解 。

【解析】略