Question

如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，且AB=，BC=1，E，F(xiàn)分別為AB，PC中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

證明：（1）取線段PD的中點M，連接FM，AM．
因為F為PC的中點，
所以FM∥CD，且FM=CD．
因為四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，
所以EA∥CD，且EA=CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四邊形AEFM為平行四邊形．
所以EF∥AM．            
又AM平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
（2）設AC，DE相交于G．
在矩形ABCD中，因為AB=BC，E為AB的中點．
所以==．
又∠DAE=∠CDA，
所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE=∠DCA．
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
所以∠DCA+∠CDE=90°．
由△DGC的內(nèi)角和為180°，得∠DGC=90°．即DE⊥AC．  
因為平面PAC⊥平面ABCD
因為DE平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
又DE平面PDE，
所以平面PAC⊥平面PDE．