Question

已知圓C的半徑長(zhǎng)為2，圓心在x軸的正半軸上，且直線3x－4y＋4＝0與圓C相切．

(1)求圓C的方程；

(2)過點(diǎn)Q(0，－3)的直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，當(dāng)x₁x₂＋y₁y₂＝3時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x－2)2＋y2＝4． 　　(2)顯然直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx－3． 　　由得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋9＝0．因?yàn)橹本�l與圓C相交于兩不同的點(diǎn)，所以Δ＝[－(4＋6k)]2－4(1＋k2)×9＞0，解得k＞．因?yàn)榻稽c(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝．①　所以y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9．因?yàn)閤1x2＋y1y2＝3，所以(1＋k2)x1x2－3k(x1＋x2)＋6＝0．將①代入，并整理得k2＋4k－5＝0，解得k＝1，或k＝－5(舍去)，所以直線l的方程為y＝x－3． 　　所以圓心(2，0)到l的距離d＝＝．所以在△ABC中，|AB|＝2×＝．又因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線l的距離，即△AOB底邊AB上的高h(yuǎn)＝，所以S△AOB＝·|AB|·h＝××＝．