Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，面PDC⊥面ABCD，∠DPC=90°，E，F(xiàn) 分別為PC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：面PAD⊥面PBC；
（2）求證：EF∥面PAB．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)P點(diǎn)作PM∥AD，經(jīng)A點(diǎn)作AM∥PD，則四邊形PMAD為平行四邊形，由∠DPC=90°，可證PC⊥DP，由ABCD為矩形，面PDC⊥面ABCD，可證PC⊥AD，即證明PC⊥面PAD，從而證明面PAD⊥面PBC；
（2）取PB的中點(diǎn)N，連接EN，AN，E，F(xiàn) 分別為PC，AD的中點(diǎn)．則：EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$$\stackrel{∥}{=}AF$，證明EF∥AN，即可得證EF∥面PAB．

解答 證明：（1）如圖，經(jīng)P點(diǎn)作PM∥AD，經(jīng)A點(diǎn)作AM∥PD，則四邊形PMAD為平行四邊形，面PAD與平行四邊形PMAD共面．
∵∠DPC=90°，∴PC⊥DP，
∵ABCD為矩形，面PDC⊥面ABCD，∴PC⊥AD，
∵AD∩DP=D，
∴PC⊥面PAD，
∵PC?面PBC，
∴面PAD⊥面PBC；
（2）取PB的中點(diǎn)N，連接EN，AN，E，F(xiàn) 分別為PC，AD的中點(diǎn)．
則：EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$$\stackrel{∥}{=}AF$，
則：四邊形ANEF為平行四邊形，有：EF∥AN，
又EF?面PAB，AN?面PAB，
故得證：EF∥面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．