Question

若函數y=f（x），如果存在給定的實數對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數”．
（1）判斷下列函數，是否為“Ω函數”，并說明理由；
①f（x）=x³         ②f（x）=2^x
（2）已知函數f（x）=tanx是一個“Ω函數”，求出所有的有序實數對（a，b）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據新定義，列出方程恒成立，通過判斷方程的解的個數判斷出f（x）=x³ 不是“Ω函數”，f（x）=2^x是“Ω函數”；
（2）據題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數的系數為0，即可求出a，b．
解答：解：（1）①若f（x）=x³ 是“Ω函數”，則存在實數對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b，
即（a²-x²）³=b時，對x∈R恒成立                                     …（2分）
而x²=a²-最多有兩個解，矛盾，
因此f（x）=x³ 不是“Ω函數”…（3分）
②若f（x）=2^x是“Ω函數”，則存在常數a，b使得2^a+x•2^a-x=2^2a，
即存在常數對（a，2^2a）滿足，因此f（x）=2^x是“Ω函數”（6分）
（2）解：函數f（x）=tanx是一個“Ω函數”，
設有序實數對（a，b）滿足，則tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立
當a=kπ+，k∈Z時，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²x，不是常數；   …（8分）
因此a≠kπ+，k∈Z，當x≠mπ+，m∈Z時，
則有（btan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立，
所以btan²a-1=0且tan²a-b=0
∴tan²a=1，b=1
∴a=kπ+，k∈Z，b=1      …（13分）
∴當x=mπ+，m∈Z，a=kπ±時，tan（a-x）tan（a+x）=cot²a=1．
因此滿足f（x）=tanx是一個“Ω函數”的實數對（a，b）=（kπ±，1），k∈Z…（14分）
點評：本題考查理解題中的新定義、判斷函數是否具有特殊函數的條件、利用新定義得到恒等式、通過仿寫的方法得到函數的遞推關系，屬于中檔題．