Question

設(shè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為α，側(cè)面與底面所成的角為β，則tanβ：tanα的值是（　�。�

• A．2：1
• B．

  2

  ：1
• C．2：

  3

• D．

  3

  ：1

Answer 1

分析：先在正四棱錐得到側(cè)棱與底面所成的角α以及側(cè)面與底面所成的角β；然后根據(jù)下底面正方形內(nèi)長度之間的關(guān)系即可求出結(jié)論．

解答：解：設(shè)下底面正方形邊長為a；
過點P做PO垂直下底面于O，
則O為下底面中心
則∠PBO即為側(cè)棱與底面所成的角α，
取BC中點E，連接PE，OE；
由正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形可得：PE⊥BC，
因為PO垂直下底面于O
則∠PEO即為側(cè)面與底面所成的角β，
在正四面體中，tanα=

PO

OB

tanβ=

PO

OE

．
∴tanβ：tanα=

OB

OE

=

2 a 2

a 2

=

2

=

2

：1．
故選：B．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．解決本題的關(guān)鍵在于做出角α以及角β．