Question

某公司今年年初用36萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．同時，公司每年需要付出設備的維修和工人工資等費用，第一年各種費用2萬元，第二年各種費用4萬元，以后每年各種費用都增加2萬元．
（1）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利；
（2）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n），f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36，由此能夠求出引進這種設備后，第2年末的收益與支出恰好相等，故從第3年起該公司開始獲利．
（2）年平均收益為

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．由此能夠求出這種設備使用6年，該公司的年平均收益最大．

解答： 解：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，
設純收益與使用年數(shù)n的關系為f（n），
則f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-36=20n-n²-36．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-20n+36＜0，
解得：2＜n＜18，
∵n∈N，
∴第2年末的收益與支出恰好相等，故從第3年起該公司開始獲利．…（6分）
（2）年平均收益為：

f(n)

n

=20-（n+

36

n

）≤20-2

n• 36 n

=8．…（10分）
當且僅當n=

36

n

，即n=6時，

f(n)

n

取得最大值．
即這種設備使用6年，該公司的年平均收益最大．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．