Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA₂=2;點D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足為E，求：

（Ⅰ）異面直線A₁D與B₁C₁的距離；

（Ⅱ）四棱錐C-ABDE的體積。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定義知B₁C₁⊥B₁D，又因為∠ABC＝90°，因此B₁C₁⊥A₁B₁，從而B₁C₁⊥平面A₁B₁D，得B₁C₁⊥B₁E。又B₁E⊥A₁D，

故B₁E是異面直線B₁C₁與A₁D的公垂線

由知

在Rt△A₁B₁D中，A₂D＝

又因

故B₁E=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，又BC∥B₁C₁，故BC⊥平面ABDE，即BC為四棱錐C-ABDE的高。從而所求四棱錐的體積V為

V＝V_C-ABDE＝

其中S為四邊形ABDE的面積。如圖1，過E作EF⊥BD，垂足為F。

圖1

在Rt△B₁ED中，ED=

又因S_△B1ED=

故EF=

因△A₁AE的邊A₁A上的高故

S_△A1AE＝

又因為S_△A1BD＝從而

S＝S_△A1AE-S_△A1AE-S_△A1B1D＝2-

所以

解法二：（Ⅱ）如圖2，以B點為坐標原點O建立空間直角坐標系O-xyz，則

圖2

A(0,1,0),A₁(0,1,2),B(0,0,0).

B₁(0,0,2),C₁(,0,2),D(0,0, )

因此

設E（，y₀，z₀），則，

因此

又由題設B₁E⊥A₁D，故B₁E是異面直線B₁C₁與A₁D的公垂線。

下面求點E的坐標。

因B₁E⊥A₁D，即

又

聯(lián)立（1）、（2）,解得,,即，。

所以.

（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC為四棱錐C-ABDE的高.

下面求四邊形ABDE的面積。

因為S_ABCD＝S_ABE+ S_ADE，

而S_ABE＝

S_BDE＝

故S_ABCD＝

所以