Question

15．函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜1）的圖象如圖，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與x軸和x=1分別交于P、Q，點N（1，0），設(shè)△PQN的面積S=g（t）
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）若g（t）在區(qū)間（m，n）上單調(diào)遞增，求n的最大值；
（3）若△PQN的面積為b時的點M恰有兩個，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（t，t²），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在M點處的切線方程，求出P，Q點的坐標(biāo)，由三角形的面積公式求出△PQN的面積；
（2）整理得：g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用g（t）在區(qū)間（m，n）上單調(diào)遞增，即可求n的最大值；
（3）由導(dǎo)數(shù)求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，從而得到△PQN的面積為S時點M恰好有兩個時的4S的范圍，則S的范圍可求．

解答 解：（1）設(shè)點M（t，t²），由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴過點M的切線PQ的斜率k=2t．
∴切線PQ的方程為y=2tx-t²．
取y=0，得x=$\frac{t}{2}$，取x=1，得y=2t-t²，
∴P（$\frac{t}{2}$，0）、Q（1，2t-t²），
∴S=g（t）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）（2t-t²）．
（2）整理得：g（t）=$\frac{1}{4}$（t³-4t²+4t），
則g′（t）=$\frac{1}{4}$（3t²-8t+4），
由g′（t）=0，解得t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=2（舍）．
∴當(dāng)t∈（0，$\frac{2}{3}$）時，g′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)．
當(dāng)t∈（$\frac{2}{3}$，1）時，g′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)．
∵g（t）在區(qū)間（m，n）上單調(diào)遞增，
∴n的最大值為$\frac{2}{3}$；
（3）當(dāng)t=$\frac{2}{3}$時，g（t）有極大值，也就是（0，1）上的最大值，為$\frac{32}{27}$．
又g（0）=0，g（1）=1．
∴要使△PQN的面積為S時點M恰好有兩個，
則1＜4S＜$\frac{32}{27}$，即$\frac{1}{4}$＜S＜$\frac{8}{27}$．
∴S的取值范圍為（$\frac{1}{4}$，$\frac{8}{27}$）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分離變量法，是中檔題．