Question

13．已知直線l和雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）有兩個(gè)交點(diǎn)A，B與該雙曲線的漸近線也有兩個(gè)交點(diǎn)CD，證明：|AC|=|BD|．

Answer 1

分析 設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程，漸近線方程，用韋達(dá)定理，可得AB、CD 的中點(diǎn)重合，即可得到結(jié)論．

解答 證明：設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
可得（b²m²-a²）y²+2mny+b²n²-a²b²=0
解得：$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{mn}{{a}^{2}-^{2}{m}^{2}}$．
又雙曲線的漸近線方程為$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=0，直線方程代入可得（b²m²-a²）y²+2mny+b²n²=0，
可得：$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{mn}{{a}^{2}-^{2}{m}^{2}}$．
∵直線l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，與漸近線交于兩點(diǎn)C，D，A在B，C兩點(diǎn)之間，
∴AB、CD 的中點(diǎn)重合．
∴|AC|=|BD|．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．