Question

3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD，M為PD的中點，過A，B，M的平面記為α．
（1）平面α與四棱錐P-ABCD的面相交，交線圍成一個梯形，在圖中畫出這個梯形；（不必說明畫法及理由）
（2）求證：AB⊥平面PBC；
（3）若CD=1，求三棱錐M-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PC中點N，連結MN，AM，BN，則梯形MNBA即為要求的梯形；
（2）根據面面垂直的性質即可得出AB⊥平面PBC；
（3）作△PBC的中線PE，則M到底面的距離為$\frac{1}{2}PE$，代入體積公式計算．

解答 解：（1）取PC中點N，連結MN，AM，BN，則梯形MNBA為要求的梯形
（2）∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊥BC，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC．
（3）∵PB=PC=BC=2CD=2，∴△PBC是等邊三角形，
過P作PE⊥BC，則PE⊥平面ABCD，且PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴M到平面ACD的距離h=$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×CD×BC$=1．
∴三棱錐M-ACD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•h$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了平面的作法，面面垂直的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．