Question

（08年咸陽(yáng)市二模）  設(shè)函數(shù) （a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，取極小值

   （1）求a、b、c、d的值；

   （2）當(dāng)時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；

   （3）若時(shí)，求證：.

Answer 1

解析：（1）∵函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)，

，即恒成立

 

 ，

時(shí)，取極小值，解得 

   （2）當(dāng)時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立.

假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)、，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，

則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，

且      （ *）

、，

此與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立.

證明（3），

或，

上是減函數(shù)，且 

∴在[－1，1]上，時(shí)，

.