Question

14．A，B，C，D是同一球面上的四個點，△ABC中，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AB=AC，AD⊥平面ABC，AD=6，$AB=2\sqrt{3}$，則該球的表面積為84π．

Answer 1

分析 把A、B、C、D擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，求出半徑即可求解球的表面積．

解答 解：由題意，設(shè)△ABC外接圓的圓心為E，球心為O，
把A、B、C、D擴展為三棱柱，
AD=6，AB=AC=2$\sqrt{3}$，OE=3，
△ABC中，BC=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=6，
∴AE=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴球半徑AO=$\sqrt{12+9}$=$\sqrt{21}$．
所求球的表面積S=4π（$\sqrt{21}$）²=84π．
故答案為：84π．

點評 本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)接體問題，考查空間想象能力以及計算能力．