Question

橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在y軸上,焦點到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離以及離心率均為,直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓O交于相異兩點A、B,且.

(1)求橢圓方程;

(2)若,求m的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),且c＞0,c²=a²-b²,由條件知-c=,且=,則a=1,c=,∴b=.故C的方程為y²+=1.

(2)由,得.∴(1+λ).

∴1+λ=4,λ=3.設(shè)l與橢圓C的交點為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則由得(k²+2)x²+2kmx+(m²-1)=0,Δ=(2km)²-4(k²+2)(m²-1)=4(k²-2m²+2)＞0,(*)

x₁+x₂=,x₁x₂=.∵,∴-x₁=3x₂.∴x₁+x₂=-2x₂,x₁x₂=-3x₂².

再整理得3(x₁+x₂)²+4x₁x₂=0.∴3()²+4()=0,整理得4k²m²+2m²-k²-2=0.

當(dāng)m²=時,上式不成立;當(dāng)m²≠時,k²=.由(*)式得k²＞2m²-2,∵λ=3,∴k≠0.

∴k²=＞0.∴-1＜m＜-或＜m＜1,即所求m的取值范圍為(-1,-)∪(,1).