Question

18．已知函數$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
（1）求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若$f（α）=2，α∈[{\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}]$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x）為正弦型函數，根據正弦函數的單調性寫出它的單調增區(qū)間；
（2）根據f（x）的解析式，結合α的取值范圍，利用三角函數關系即可求出cos2α的值．

解答 解：（1）函數$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-{sin^2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵f（α）=$\sqrt{3}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴$\frac{π}{2}$≤2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴2α=$\frac{π}{3}$，
∴cos2α=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的化簡求值以及三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．