Question

15．設命題p：實數a滿足不等式3^a≤9，命題q：x²+3（3-a）x+9≥0的解集為R．已知“p∧q”為真命題，并記為條件r，且條件t：實數a滿足a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$．
（1）求條件r的等價條件（用a的取值范圍表示）；
（2）若r是￢t的必要不充分條件，求正整數m的值．

Answer 1

分析 （1）求出“p∧q”為真命題，實數a的取值范圍
（2）結合r是￢t的必要不充分條件，可得滿足條件的正整數m的值．

解答 解：（1）由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2． 
由△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，即q：1≤a≤5．
∵“p∧q”為真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{1≤a≤5}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤2．
（2）又t：a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，從而$?t：m≤a≤m+\frac{1}{2}$．
∵r是?t的必要不充分條件，即?t是r的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥1\\ m+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，
解得$1≤m≤\frac{3}{2}$，
∵m∈N^*，
∴m=1

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了充要條件，函數的極值，指數不等式的解法，二次不等式的解法，復合命題，難度中檔．