Question

5．以橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，已知點M坐標(biāo)為（2，1），雙曲線C上點P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）滿足$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，則${S}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 通過已知條件，寫出雙曲線方程，結(jié)合已知等式及平面幾何知識得出點M是△F₁PF₂的內(nèi)心，利用三角形面積計算公式計算即可．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴其頂點坐標(biāo)為（3，0）、（-3，0），焦點坐標(biāo)為（2，0）、（-2，0），
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
設(shè)點P（x，y），記F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
∵$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，
∴$\frac{[（-3，0）-（x，y）]•[（-3，0）-（2，1）]}{\sqrt{[（-3，0）-（x，y）]•[（-3，0）-（x，y）]}}$=$\frac{[（-3，0）-（3，0）]•[（-3，0）-（2，1）]}{3-（-3）}$，
整理得：$\frac{15+5x+y}{\sqrt{{x}^{2}+6x+9+{y}^{2}}}$=5，
化簡得：5x=12y-15，
又∵$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
∴5$（\frac{12}{5}y-3）^{2}$-4y²=20，
解得：y=$\frac{5}{2}$或y=$\frac{25}{62}$（舍），
∴P（3，$\frac{5}{2}$），
∴直線PF₁方程為：5x-12y+15=0，
∴點M到直線PF₁的距離d=$\frac{|5×2-12+15|}{\sqrt{{5}^{2}+（-12）^{2}}}$=1，
易知點M到x軸、直線PF₂的距離都為1，
結(jié)合平面幾何知識可知點M（2，1）就是△F₁PF₂的內(nèi)心．
故${S}_{△PM{F}_{1}}$-${S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{P{F}_{1}}|-|\overrightarrow{P{F}_{2}}|）×1$=$\frac{1}{2}×4×1$=2，
故選：A．

點評 本題考查橢圓方程，雙曲線方程，三角形面積計算公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．