Question

1．如圖，設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OD}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，AD與BC交于點E，試用$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OE}$．

Answer 1

分析 根據(jù)A，D，E三點共線，B，C，E三點共線列出方程求出$\overrightarrow{CE}$，得出$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$．

解答 解：$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}$=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$，
設(shè)$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{λ}{3}$$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CE}$=$\frac{2+λ}{3}$$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$．
∵A，D，E三點共線，∴存在k≠0，使得$\overrightarrow{EA}=k\overrightarrow{DA}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+λ}{3}=k}\\{-λ=-\frac{k}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{11}}\\{k=\frac{8}{11}}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{CE}$=-$\frac{2}{33}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{33}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow$=$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，三點共線原理的應(yīng)用，屬于中檔題．