Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AA₁，E是BB₁上的點，且平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C.

(1)確定點E的位置；

(2)若平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成的角為60°時，正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由.

Answer 1

答案：解法一：(1)連結(jié)AC₁交A₁C于點O，連結(jié)AE、EC.

由于AB=AA₁，三棱柱ABC—A₁B₁C₁為正三棱柱，∴四邊形AA₁C₁C為正方形.∴AO⊥A₁C.

∵平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C且平面A₁EC∩平面AA₁C₁C=A₁C，

∴AO⊥平面A₁EC.∴AO⊥OE.                                                 

在△AEC₁中，AE=EC₁，

即.

而AB=B₁C₁，

∴BE=B₁E，即點E為棱BB₁的中點.                                            

(2)延長CE交C₁B₁的延長線于F，連結(jié)A₁F，

而B₁E∥C₁C，

∵.∴FB₁=B₁C₁.

∴FB₁=B₁C₁=A₁B₁.

∴FA₁⊥A₁C₁.                                                                

∵面AA₁C₁C⊥面A₁B₁C₁，面AA₁C₁C∩面A₁B₁C₁=A₁C₁，

∴FA₁⊥面AA₁C₁C，∴FA₁⊥CA₁，F(xiàn)A₁⊥C₁A₁.

∴∠CA₁C₁就是二面角CA₁FC₁的平面角.                                       

而∠CA₁C₁=45°≠60°，

∴此三棱柱不是“黃金棱柱”.

解法二：(1)如下圖建立空間直角坐標系，設AB=AA₁=a，B₁E=b，

則A₁(0，0，0)、B₁(a,,0)、C₁(0，a，0)、E(a,,b)、C(0，a，a).           

∴=(a,,b),=(0,a,a).                                              

設平面A₁EC的法向量為m=(x，y，z)，則

∴可取m=(,-1,1).                                                      

顯然平面A₁C₁CA的法向量可取為n=(1，0，0).

由題意，平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，

∴m⊥n，∴m·n=0，即=0,b=.

∴點E為BB₁的中點.                                                         

(2)由(1)知，m=(0，-1，1)，顯然平面A₁B₁C₁的法向量可取為l=(0，0，1)，

∴cos〈m,l〉=.                                            

∴〈m,l〉=45°.

∴平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成的銳二面角為45°，即此三棱柱不是“黃金棱柱”.