Question

11．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知定點Q（0，2），P點為橢圓上的動點，求|PQ|最大值及相應(yīng)的P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓E的方程為：mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．利用方程組求解即可．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點，由Q（0，2），求出|PQ|的最大值，推出結(jié)果．

解答 （12分）解：（1）設(shè)橢圓E的方程為：mx²+ny²=1，m＞0，n＞0，m≠n．
將M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）代入橢圓E的方程，得$\left\{\begin{array}{l}4m+n=1\\ 8m=1\end{array}\right.$…（3分）
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{2}$，所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$…（6分）
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點，由Q（0，2），
得$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{{（y-2）}^2}}=\sqrt{-3{y^2}-4y+12}$，
∵$y∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，
∴$y=-\frac{2}{3}$時，${|{PQ}|_{max}}=\frac{{2\sqrt{30}}}{3}$
此時P點坐標(biāo)為$（±\frac{{2\sqrt{14}}}{3}，-\frac{2}{3}）$

點評 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．