Question

對(duì)函數(shù)y=f（x）（x₁≤x≤x₂），設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圖象上的兩端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)N滿足=+（1﹣λ），λ≥0，點(diǎn)M（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且x=λx₁+（1﹣λ）x₂，則稱|MN|的最大值為函數(shù)的“高度”，則函數(shù)f（x）=x²﹣2x﹣1在區(qū)間[﹣1，3]上的“高度”為　．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)的性質(zhì)；平面向量的基本定理及其意義．

專題：

新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．

分析：

利用向量共線即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)及λ的取值范圍、利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|MN|、再二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：

解：由函數(shù)f（x）=x²﹣2x﹣1及區(qū)間[﹣1，3]可得區(qū)間端點(diǎn)A（﹣1，2），B（3，2）．

∴=（3﹣4λ，2），∴N（3﹣4λ，2）；

∵點(diǎn)N滿足=+（1﹣λ），λ≥0，∴0≤λ≤1．

∴x_M=3﹣4λ，y_M=（3﹣4λ）²﹣2（3﹣4λ）﹣1=16λ²﹣16λ+2，

∴|MN|==|16λ²﹣16λ|=，

∵λ∈[0，1]，∴，，

∴|MN|≤4．

∴函數(shù)f（x）=x²﹣2x﹣1在區(qū)間[﹣1，3]上的“高度”為4．

故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：

正確理解新定義、向量共線、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．