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證明對(duì)任意的正整數(shù)n,都有13+23+33+…+n3=.

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，左邊=右邊，等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即有

13+23+33+…+k3=k2(k+1)2.

當(dāng)n=k+1時(shí)，13+23+33+…+k3+(k+1)3

=k2(k+1)2+(k+1)3= (k+1)2(k2+4k+4)

= (k+1)2(k+2)2= (k+1)2［(k+1)+1］2.

∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.

由(1)(2)可知，等式對(duì)任意正整數(shù)都成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)b＞
1
2
時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•武昌區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1）．
（Ⅰ）若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若b=-1，證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式
n
k=i
f(
1
k
)＜1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在點(diǎn)（0，f（0））的切線方程為y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[-
1
2
，1]時(shí)，f（x）的圖象與直線y=-x+m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江西省高三第三次段考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x) = x2 + bln(x+1),

（1）若對(duì)定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實(shí)數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）若b = -1,，證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立

 

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