Question

（理）某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學生共有40人，下表為該學生瞬時記憶能力的調查結果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

視覺 聽覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分數(shù)據(jù)技失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為

2

5

．
（1）試確定a、b的值；
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；
（3）從視覺記憶能力偏高的學生中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力中等的學生人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人，記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，由P（A）=

10+a

40

=

2

5

，能確定a、b的值．
（Ⅱ）由表格數(shù)據(jù)知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率．
（Ⅲ）具有視覺記憶能力偏高的學生共有9人，其中聽覺記憶能力中等的學生有3位，則9位學生中任意抽取3位，ξ的可能取值為0，1，2，3，由此能求出隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)知，視覺記憶能力恰為中等，
且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人，
記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，
則P（A）=

10+a

40

=

2

5

，解得a=6，
∴b=40-（32+a）=40-38=2．
（Ⅱ）由表格數(shù)據(jù)知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人，
記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件

.

B

，
∴P（B）=1-P（

.

B

）=1-

C 3 32

C 3 40

=1-

124

247

=

123

247

．
∴從40人中任意抽取3人，
其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為

123

247

．
（Ⅲ）具有視覺記憶能力偏高的學生共有9人，其中聽覺記憶能力中等的學生有3位，
則9位學生中任意抽取3位，ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

，
P（ξ=1）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，
P（ξ=2）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，

ξ	0	1	2	3
P	5 21	15 28	3 14	1 84

∴Eξ=0×

5

21

+1×

15

28

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型．