Question

15．已知圓：（x-2）²+y²=3與雙曲線：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$的漸近線相切，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑得$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，求出b=$\sqrt{3}$a，
c=2a，即可得到雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為bx±ay=0．
根據(jù)圓（x-2）²+y²=3的圓心（2，0）到切線的距離等于半徑$\sqrt{3}$，
可得$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故此雙曲線的離心率為：2．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出b=$\sqrt{3}$a，c=2a的值，是解題的關(guān)鍵．