Question

6．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}，（n∈{N^+}）$的展開式中第5項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1，
（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和；
（2）求展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得n的值，在二項(xiàng)式中，令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和．
（2）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于$\frac{3}{2}$，求出r的值，即可求得展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)．
（3）若第k+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則由$C_8^{k-1}•{2^{k-2}}≤C_8^k•{2^k}$$C_8^{k+1}≤C_8^k•{2^k}$，求得k的范圍，可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）由題意知：第五項(xiàng)系數(shù)為$C_n^4{（-2）^4}$，第三項(xiàng)系數(shù)為$C_n^2{（-2）^2}$，則由題意可得$\frac{{C_n^4{{（-2）}^4}}}{{C_n^2{{（-2）}^2}}}=\frac{10}{1}$，
解得：n=8，或（n=-3）舍去．
在二項(xiàng)式中，令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和為（1-2）⁸=1．
（2）二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為 ${T_{k+1}}=C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}•{（-\frac{2}{x^2}）^k}$=$C_8^K{（-2）^k}{x^{\frac{8-k}{2}-2k}}$，
令$\frac{8-k}{2}-2k=\frac{3}{2}，則k=1$，
∴展開式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)為${T_2}=-16{x^{\frac{3}{2}}}$．
（3）設(shè)展開式中第k項(xiàng)，第k+1項(xiàng)，第k+2項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值為$C_8^{k-1}{2^{k-1}}，C_8^k•2k，C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，
若第k+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則由$C_8^{k-1}•{2^{k-2}}≤C_8^k•{2^k}$$C_8^{k+1}≤C_8^k•{2^k}$，求得5≤k≤6，
又∵T₆系數(shù)為負(fù)，∴系數(shù)最大項(xiàng)為${T_7}=1792•{x^{-11}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．