Question

F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是△PF₁F₂的內(nèi)心，且S_△IPF2=S_△IPF1-S_△IF1F₂，則雙曲線的離心率e=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，利用平面幾何的知識利用三角形面積公式，代入已知式S_△IPF2=S_△IPF1-S_△IF1F2，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．
解答：解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點(diǎn)E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF₁=×|PF₁|×|IF|=|PF₁|，
S△IPF₂=×|PF₂|×|IG|=|PF₂|
S△IF₁F₂=×|F₁F₂|×|IE|=|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S_△IPF2=S_△IPF1-S_△IF1F2，
∴|PF₂|=|PF₁|-|F₁F₂|
兩邊約去 得：|PF₂|=|PF₁|-|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴3a=2c⇒離心率為e==．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計(jì)算公式等知識點(diǎn)，屬于中檔題．