Question

設T是邊長為2的正△P₁P₂P₃的邊及其內部的點構成的集合，點P₀是三角形的中心，若集合S={P∈T||PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3}，若M∈S，則（

P0P1

+

P0P2

）•

P3M

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷,集合的表示法

專題：平面向量及應用,集合

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3}，則P點應位于P₀P_i的三條垂直平分線與正△P₁P₂P₃的圍成的平面圖形之內，又由T是正△P₁P₂P₃及其內部的點構成的集合，我們易畫出滿足條件的圖象，進而得到答案．

解答： 解：如圖所示，AB、CD、EF分別為P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃的垂直平分線，
且AB、CD、EF分別交P₁P₂、P₂P₃、P₃P₁于點A、C、D、E、F、B．
若|PP₀|=|PP₁|，則點P在線段AB上，若|PP₀|≤|PP₁|，則點P在梯形ABP₃P₂中．
同理，若|PP₀|≤|PP₂|，則點P在梯形CDP₃P₁中．
若|PP₀|≤|PP₃|，則點P在梯形EFP₁P₂中．
綜上可知，若|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，則點P在六邊形ABFEDC中．
則當M落在線段AC上時，此時

P3M

在

P0P1

+

P0P2

的投影取最大值，
故此時（

P0P1

+

P0P2

）•

P3M

取最大值

2 3

3

•

3

=2
故答案為：2

點評：本題考查的知識點是不等式表示的平面區(qū)域，根據|PP₀|≤|PP_i|，畫出滿足條件的圖形是解答本題的關鍵．