Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF2|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）且AF₂=2F₂B，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)右焦點F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根據(jù)拋物線的定義可求得點M的橫坐標(biāo)，并代入拋物線方程，可求其縱坐標(biāo)；把點M代入橢圓方程，以及焦點坐標(biāo)，解方程即可求得橢圓C₁的方程；
（II）設(shè)l的方程為x=ky+1，聯(lián)立消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件：“AF₂=2F₂B”得到關(guān)于k的方程，即可求得k值，從而求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意知F₂（1，0），設(shè)M（x₁，y₁）．由拋物線定義得1+x1=

5

3

，即x1=

2

3

．
將x1=

2

3

代入拋物線方程得y1=

2 6

3

（2分），進(jìn)而由

( 2 3 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1及a²-b²=1解得a²=4，b²=3．故C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）依題意，

a-c

a+c

=

1

3

，故直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x=ky+1代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得（3k²+4）y²+6ky-9=0（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由AF₂=2F₂B得y₁=-2y₂（8分）故

-y2=y1+y2= -6k 3k2+4 -2 y 2 2 =y1y2= -9 3k2+4

（10分）
消去y₂整理得

3

4

=

k2

3k2+4

解得k=±

2 5

5

．故所求直線方程為5x±2

5

y-5=0（12分）

點評：此題是個難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設(shè)問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．