Question

在數(shù)列{a_n}中，，若函數(shù)f（x）=x³+1在點（1，f（1））處切線過點（a_n+1，a_n）．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式和前n項和公式S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，從而得到a_n+1與a_n的關(guān)系，并利用待定系數(shù)法整體構(gòu)造等比數(shù)列_；
（2）利用（1）求出數(shù)列的通項公式，繼而得到數(shù)列{a_n}的通項公式，觀察通項特征，選擇求和方法．
解答：解：（1）因為f^′（x）=3x²，所以切線的斜率為k=3，切點（1，2），
切線方程為y-2=3（x-1）即3x-y-1=0…2分
又因為過點（a_n+1，a_n），所以3a_n+1-a_n-1=0，
即3a_n+1=a_n+1①…4分
所以即即，
即數(shù)列為一等比數(shù)列，公比為…6分
（2）由（1）得為一公比為，的等比數(shù)列．
則，∴，…10分
…12分
點評：本題綜合考查了函數(shù)與數(shù)列問題，對形如a_n+1=pa_n+q的整體構(gòu)造和不同性質(zhì)數(shù)列分組求和是本題解決的關(guān)鍵．