Question

已知，x∈（1，+∞），f（2）=3
（1）求a；
（2）判斷并證明函數(shù)單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，將x=2，f（2）=3代入構(gòu)造a的方程，解方程可得答案．
（2）任取1＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
解答：解：（1）∵，x∈（1，+∞），f（2）=3
∴，
解得a=1．
（2）∴．
函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=-=
因為1＜x₁＜x₂，，所以x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
所以函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
點評：本題主要考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．