Question

19．在直角坐標系xOy中，曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點．
（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程．
（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？（說明理由）

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得交點M，N的坐標，由曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，利用導數(shù)的運算法則可得：y′=$\frac{x}{2}$，利用導數(shù)的幾何意義、點斜式即可得出切線方程．
（II）存在符合條件的點（0，-a），設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM，PN的斜率分別為：k₁，k₂．直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx-4a=0，利用根與系數(shù)的關系、斜率計算公式可得k₁+k₂=$\frac{k（a+b）}{a}$．k₁+k₂=0?直線PM，PN的傾斜角互補?∠OPM=∠OPN．即可證明．

解答 解：（I）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，不妨取M$（2\sqrt{a}，a）$，N$（-2\sqrt{a}，a）$，
由曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$可得：y′=$\frac{x}{2}$，
∴曲線C在M點處的切線斜率為$\frac{2\sqrt{a}}{2}$=$\sqrt{a}$，其切線方程為：y-a=$\sqrt{a}$$（x-2\sqrt{a}）$，化為$\sqrt{a}x-y-a=0$．
同理可得曲線C在點N處的切線方程為：$\sqrt{a}x+y+a=0$．
（II）存在符合條件的點（0，-a），下面給出證明：
設P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM，PN的斜率分別為：k₁，k₂．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，化為x²-4kx-4a=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a．
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-b}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（a-b）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{k（a+b）}{a}$．
當b=-a時，k₁+k₂=0，直線PM，PN的傾斜角互補，
∴∠OPM=∠OPN．
∴點P（0，-a）符合條件．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．