Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當時，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）時，值域為:；時，值域為:.

【解析】

(1)由函數(shù)是奇函數(shù),利用函數(shù)的定義域為時,奇函數(shù)在0處有定義，則即可解的的值;
(2)由題意利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明函數(shù)的單調(diào)性，;
(3)由題意先求出函數(shù)的值域，令函數(shù)為利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性求出定義域下的函數(shù)的值域.

（1）因為函數(shù)定義域為且函數(shù)是奇函數(shù),，

(2) 函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).證明如下：
由（1）得，因為定義域為, 所以任取，且,
，

,又，,所以，
是單調(diào)遞增函數(shù)；
(3)由（2）得，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以時，，所以，

所以令,

任取，且，
則，

因為，所以，又因為，所以，

所以當時，，所以，所以在單調(diào)遞減；

當時，時，，而時，，

即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

所以當時， ，

即當時，函數(shù)的值域為:
當時，,
即當時，函數(shù)的值域為:.

綜上可得：

時，函數(shù)的值域為:.

時，函數(shù)的值域為:；

故得解.