Question

將自然數(shù)1,2,3,4,…排成數(shù)陣(如圖),在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎,在3處轉(zhuǎn)第二個(gè)彎,在5處轉(zhuǎn)第三個(gè)彎,…,則轉(zhuǎn)第100個(gè)彎處的數(shù)為               .

Answer 1

2 551

解法一:觀察圖中數(shù)表,第1次轉(zhuǎn)彎加1,第2次轉(zhuǎn)彎加1,第3次轉(zhuǎn)彎加2,第4次轉(zhuǎn)彎加2,第5次轉(zhuǎn)彎加3,第6次轉(zhuǎn)彎加3,第7次轉(zhuǎn)彎加4,第8次轉(zhuǎn)彎加4,…,依次可歸納出第99次和第100次轉(zhuǎn)彎同在前一次轉(zhuǎn)彎處加50,故第100次轉(zhuǎn)彎處的整數(shù)為

1+(1+1)+(2+2)+(3+3)+(4+4)+…+(50+50)=1+2(1+2+3+…+50)=2 551.

解法二:觀察數(shù)陣中“回”字形左對角線的數(shù)字,組成的數(shù)列{a_n}:1,3,7,13,21,….

則a_n-a_n-1=2(n-1),其中a₁=1(n∈N^*),用逐差法可求a_n.

∴a_n=n(n-1)+1.又此對角線轉(zhuǎn)彎的次數(shù)均為偶數(shù)次,第2次轉(zhuǎn)彎為a₂,第4次轉(zhuǎn)彎為a₃,第6次轉(zhuǎn)彎為a₄,第8次轉(zhuǎn)彎為a₅,…,第100次轉(zhuǎn)彎為a_n中第+1=51項(xiàng),即第100次轉(zhuǎn)彎為a₅₁=50×51+1=2 551.