Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為,,離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）過 的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,則的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）的面積取得最大值3, .

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法結(jié)合題意求解橢圓方程即可；

（2）很明顯直線的斜率不為零，設(shè)出直線方程的x軸截距形式，得到面積函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定面積最大時(shí)的直線方程即可.

（1）設(shè)橢圓：

因?yàn)?/span>， 所以

即橢圓： .

（2）設(shè)，不妨設(shè)

由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

則 ，

∴，

令，可知則，

∴

令，則，

當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，∴，

即當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值3，

此時(shí)直線的方程為．