Question

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁= AB,點E、M分別為A₁B、C₁C的中點，過點A₁、B、M三點的平面A₁BM交C₁D₁于點N.

(1)求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（2）求二面角B-A₁N-B₁的正切值.

Answer 1

解法一：（1）證明：取A₁B₁的中點F，連結(jié)EF、C₁F.

∵E為A₁B中點，

∴EFBB₁.

又∵M為CC₁中點，

∴EFC₁M.

∴四邊形EFC₁M為平行四邊形.

∴EM∥FC₁.

而EM平面A₁B₁C₁D₁，F(xiàn)C₁平面A₁B₁C₁D₁,

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.

(2)由（1）EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N,

∴A₁N∥EM∥FC₁.∴N為C₁D₁中點.

過B₁作B₁H⊥A₁N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理BH⊥A₁N,

∠BHB₁即為二面角B-A₁N-B₁的平面角.

設(shè)AA₁=a,則AB=2a.

∵A₁B₁C₁D₁為正方形，∴A₁N=a.

又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁,

∴B₁H=.

在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=,

即二面角B-A₁N-B₁的正切值為.

解法二:（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB=2a,AA₁=a(a＞0),則A₁(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C₁(0,2a,a).

∵E為A₁B的中點，M為CC₁的中點，

∴E(2a,a,),M(0,2a,).

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.6分

（2）設(shè)平面A₁BM的法向量為n=(x,y,z),

又=(0,2a,-a),=(-2a,0,),

由n⊥,n⊥，得∴不妨設(shè)z=a,則n=(,,a).

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量為n₁=(0,0,1).

設(shè)二面角的平面角為θ，則|cosθ|=

又二面角為銳二面角，∴cosθ=.從而tanθ=.