Question

已知函數，
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數．
（3）判斷f（x）的單調性并證明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

【答案】分析：（1）要使函數的解析式有意義，自變量x必須滿足使真數部分大于0，即，解分式不等式即可得到f（x）的定義域．
（2）根據已知中函數的解析式，我們可以寫出f（-x）的表達式，然后利用對數的運算性質，判斷f（-x）與f（x）的關系，即可得到結論；
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，我們判斷利用作差法判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，然后根據函數單調性的定義即可得到結論；
（4）根據（3）的結論，我們可將不等式轉化為關于x的不等式組-1＜x＜1-x＜1，解不等式組即可得到答案．
解答：解：（1）∵，即-1＜x＜1∴的定義域為（-1，1）（3分）
（2）∵的定義域為（-1，1），在（-1，1）上任取一個自變量x
則
∴f（x）為奇函數．（6分）
（3）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂∴-1＜x₁＜x₂＜1（17分）（9分）
又0＜1+x₁＜1+x₂&，0＜1-x₂＜1-x₁
∴（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）為（-1，1）上的增函數（12分）
（4）∵f（x）為（-1，1）上的增函數∴-1＜x＜1-x＜1
解得（14分）
點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性與特殊點，函數奇偶性的判斷及對數函數持定義域，其中結合對數的運算性質及復合函數的性質綜合分析問題是解答本題的關鍵，本題解答過程中易忽略真數大于0的限制，造成錯解．