Question

已知函數(shù)f（x）=2^x
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=g（x），求函數(shù)y=g（x²-2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求滿足不等式f（|x+1|-|x-1|）的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=2^x，得y=g（x）=log₂x，則y=g（x²-2x-3）=log₂（x²-2x-3），
由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)y=g（x²-2x-3）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞），
因?yàn)閥=log₂u單調(diào)遞增，u=x²-2x-3在（3+∞）上遞增，
所以y=log₂（x²-2x-3）的遞增區(qū)間為（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|），即，
所以|x+1|-|x-1|，
①當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式可化為-（x+1）-（1-x）≥，即-2≥，無(wú)解；
②當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，不等式可化為（x+1）-（1-x），即2x，解得x，
所以1；
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為（x+1）-（x-1），即2，
所以x＞1；
綜上，x，即不等式f（|x+1|-|x-1|）的x的取值范圍為x．
分析：（1）先由f（x）求得g（x），進(jìn)而得到y(tǒng)=g（x²-2x-3），根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（2）表示出不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得|x+1|-|x-1|，按照x≤-1，-1＜x≤1，x＞1三種情況討論去掉絕對(duì)值符號(hào)即可解得不等式；
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)以及絕對(duì)值不等式的求解，考查分類討論思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．