Question

4．（1）若拋物線的焦點在y軸上，點 A（m，-2）在拋物線上，且|AF|=3，求拋物線的標準方程及△O AF的面積．
（2）以橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的長軸短點為焦點，且經(jīng)過（3，$\sqrt{10}$）的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）先假設(shè)拋物線的方程，利用點 A（m，-2）在拋物線上，且|AF|=3，建立方程，即可求得m的值，即可求拋物線的標準方程及△OAF的面積．
（2）雙曲線的焦點坐標為（±2$\sqrt{2}$，0），利用雙曲線經(jīng)過（3，$\sqrt{10}$），可得2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）依題意，設(shè)拋物線方程為x²=-2py （p＞0）
∵點 A（m，-2）在拋物線上，且|AF|=3，
∴$\frac{p}{2}$+2=3，∴p=2，
∴拋物線方程為x²=-4y．
A（m，-2）代入可得m=±2$\sqrt{2}$，
∴△OAF的面積S=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
（2）由題意，雙曲線的焦點坐標為（±2$\sqrt{2}$，0），
∵雙曲線經(jīng)過（3，$\sqrt{10}$），
∴2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線的標準方程$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查的重點是拋物線、雙曲線的標準方程，解題的關(guān)鍵是利用拋物線、雙曲線的定義合理轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．