Question

3．如圖，圓O內(nèi)切于△ABC的邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB=AC，連結(jié)AD交圓O于點(diǎn)H，直線HF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）證明：圓心O在直線AD上；
（2）若BC=6，求GC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得CF=BE，CD=BD，由△ABC是等腰三角形，得AD是∠CAB的平分線，由此能證明圓心O在直線AD上．
（2）連接DF，由已知條件得∠FDH+∠FHD=90°，∠G=∠FDH，由此能求出GC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AF=AE
∴CF=BE…（2分）
又CF=CD，BD=BE，∴CD=BD…（4分）
又△ABC是等腰三角形
∴AD是∠CAB的平分線
∴圓心O在直線AD上…（6分）
（2）解：連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°…（7分）
又∠G+∠FHD=90°，∴∠G=∠FDH…（8分）
∵⊙O與AC相切于點(diǎn)F，∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G…（10分）
∴CG=CF=CD=DB
由BC=6，得GC=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心在直線上的證明，考查線線段長(zhǎng)的求法，正確運(yùn)用圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)是關(guān)鍵．