Question

橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長(zhǎng)是4+2

2

，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)△PF₁F₂的周長(zhǎng)是4+2

2

且焦距為|F₁F₂|=2

2

，算出2a=|PF₁|+|PF₂|=4，可得a=2，再由平方關(guān)系算出b=

a2-c2

=

2

，即可得到所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0），
∴橢圓的焦距為|F₁F₂|=2

2

．
∵△PF₁F₂的周長(zhǎng)是4+2

2

，
∴|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=4+2

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=4．
根據(jù)橢圓的定義，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，得a=2，
又∵c=

2

，∴b=

a2-c2

=

2

，可得a²=4，b²=2．
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案為：

x2

4

+

y2

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．