Question

14．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：$f（x）-f（y）=f（{\frac{x-y}{1-xy}}）$，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$．設(shè)$m=f（{\frac{1}{5}}）+f（{\frac{1}{11}}）+…+f（{\frac{1}{{{n^2}+n-1}}}），\;\;n≥2，n∈{N^*}$，則實(shí)數(shù)m與-1的大小關(guān)系為（　�。�

• A． m＜-1
• B． m=-1
• C． m＞-1
• D． 不確定

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得f（x）在（-1，1）為奇函數(shù)，由當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$，從而可得在x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{1}{n（n+1）-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n（n+1）}}$）=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），從而利用裂項(xiàng)求和法求得m與-1的大小．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足：$f（x）-f（y）=f（{\frac{x-y}{1-xy}}）$，
令x=y=0得f（0）=0；
令x=0得-f（y）=f（-y）．
∴f（x）在（-1，1）為奇函數(shù)，
由當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，且$f（{-\frac{1}{2}}）=1$，
則在x∈（0，1）時(shí)f（x）＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-1，
∵f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）=f（$\frac{1}{n（n+1）-1}$）=f（$\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n（n+1）}}$）
=f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$），
∴m=f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{11}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}+n-1}$）
=[f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）]+[f（$\frac{1}{3}$）-f（$\frac{1}{4}$）]+…+[f（$\frac{1}{n}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）]
=f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{n+1}$）=-1-f（$\frac{1}{n+1}$）＞-1，
即m＞-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，考查學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于綜合題．