Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過直線上一點(diǎn)M引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A,B.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)切線方程分別為，。兩切線均過點(diǎn)M，即即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程故直線AB的方程是，直線AB恒過定點(diǎn)（Ⅲ）

解析試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點(diǎn)是，故，又，所以，
所以所求的橢圓方程為      ……………3分
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)。則切線方程分別為，。又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1,0）都適合這個方程，故直線AB恒過定點(diǎn)。          ………………………………6分[
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以…………………..8分
不妨設(shè)
，同理……10分
所以

即。
故存在實(shí)數(shù)，使得。  ……………………12分
考點(diǎn)：橢圓性質(zhì)與方程，直線與橢圓相交的弦長
點(diǎn)評：直線與橢圓相交問題要充分利用韋達(dá)定理使其簡化解題過程，圓錐曲線題目一直是學(xué)生得分較低的類型