Question

8．某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)共有20排，且此看臺(tái)的座位是這樣排列的：第一排有2個(gè)座位，從第二排起每一排比前一排多1個(gè)座位，記a_n表示第n排的座位數(shù)．
（1）確定此看臺(tái)共有多少個(gè)座位；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}}\right\}$的前20項(xiàng)和S₂₀．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式和求和公式，即可得到所求值；
（2）求得$\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）由題可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=2+n-1=n+1（1≤n≤20）．
∴此看臺(tái)的座位數(shù)為$\frac{（2+21）×20}{2}=230$．
（2）∵$\frac{a_n}{{n{{（n+1）}^2}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S_{20}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．