Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)。

            

   （Ⅰ）求證：MN//平面ACC₁A₁­；

   （Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC。

Answer 1

解：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁

（Ⅰ）連結(jié)AC₁，AB₁。

由直三棱柱的性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形。

由矩形性質(zhì)得AB₁過A₁B的中點(diǎn)M

在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN//AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁ 

（Ⅱ）因?yàn)锽C⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A_1­，所以BC⊥AC₁

在正方形ACC₁A₁中，A₁CA⊥AC₁

又因?yàn)锽CA_­1C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC