Question

6．函數(shù)f（x）=x²-2lnx，g（x）=2ax-ax²，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為lnx＜x（$\frac{1+a}{2}$x-a）在x∈（1，+∞）恒成立，令p（x）=lnx，q（x）=x（$\frac{1+a}{2}$x-a），結(jié)合函數(shù)圖象求出a的范圍即可．

解答 解：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞g（x）恒成立，
即lnx＜x（$\frac{1+a}{2}$x-a）在x∈（1，+∞）恒成立，
令p（x）=lnx，q（x）=x（$\frac{1+a}{2}$x-a），
畫出函數(shù)p（x），q（x）圖象，如圖示：
，
結(jié)合圖象q（x）開口向上，故$\frac{a+1}{2}$＞0，解得：a＞-1，
且x=$\frac{2a}{1+a}$＜1，解得：a＜1，
故-1＜a＜1．

點評 本題考查了二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．