Question

已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量 

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大��；
（2）若b=

3

，求a+c的范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量垂直，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形兩邊之和大于第三邊求出a+c的范圍即可．

解答：解：（1）∵

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

，
∴cosB（2a+c）+bcosC=0，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，
整理得：2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0，
即2cosBsinA=-sin（B+C）=-sinA，
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜180°，
∴B=120；
（2）∵b=

3

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即3=a²+c²+ac=（a+c）²-ac≥（a+c）²-（

a+c

2

）²=

3

4

（a+c）²，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∴（a+c）²≤4，即a+c≤2，
又a+c＞b=

3

，
∴a+c∈（

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．