Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-c）²（其中c為常數(shù)，c∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值，求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系求c的取值范圍．
（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值，求實(shí)數(shù)c的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意得f'（x）=3x²-4cx+c²…（2分）
若f（x）有極值，則△=4c²＞0，∴c≠0…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-4cx+c²=0得x=c或

c

3

，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2處取得了極大值，故
x=2是f'（x）=0的一個(gè)實(shí)根，故c＞0
∴c＞

c

3

…（8分）
所以函數(shù)f（x）在(-∞，

c

3

)上遞增，在(

c

3

，c)上遞減，(c，+∞)上遞增，
f（x）在x=

c

3

處取得極大值；                                  …（10分）
∴

c

3

=2⇒c=6…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的極值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．