Question

2．已知p：?x∈R，不等式x²-mx+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，q：橢圓$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別判斷出p，q為真時(shí)的m的范圍，通過(guò)討論p，q的真假，得到關(guān)于m的不等式組，取并集即可．

解答 解：∵p：?x∈R，不等式x²-mx+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，
∴△=m²-6＜0，解得：-$\sqrt{6}$＜m＜$\sqrt{6}$；
q：橢圓$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，
∴m-1＞3-m＞0，解得：2＜m＜3，
若“p或q”為真，“p且q”為假，
則：p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}}\\{m≥3或m≤2}\end{array}\right.$，解得：-$\sqrt{6}$＜m＜2，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\sqrt{6}或m≤-\sqrt{6}}\\{2＜m＜3}\end{array}\right.$，解得：$\sqrt{6}$≤m＜3，
故m的范圍是（-$\sqrt{6}$，2）∪[$\sqrt{6}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的真假，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查橢圓問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．