Question

17．某工廠有兩條相互不影響的生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品出廠前需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測(cè)．檢測(cè)得分低于80的為不合格品，只能報(bào)廢回收；得分不低于80的為合格品，可以出廠．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各60件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

得分	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
甲	5	10	34	11
乙	8	12	31	9

（Ⅰ）試分別估計(jì)產(chǎn)品甲，乙下生產(chǎn)線時(shí)為合格品的概率；
（Ⅱ）生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品則虧損20元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品則虧損15元．在（Ⅰ）的前提下：
（1）記X為生產(chǎn)1件甲和1件乙所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求生產(chǎn)5件乙所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率．

Answer 1

分析 （I）求解運(yùn)用古典概率得出甲，乙下生產(chǎn)線時(shí)為合格品的概率，
（Ⅱ）（1）確定隨機(jī)變量X的所有可能取值為190，85，70，-35．
求解P（X=190），P（X=85），P（X=70），P（X=-35），求解分布列，
（2）設(shè)生產(chǎn)5件乙所獲得的利潤(rùn)不少于300，運(yùn)用二項(xiàng)分布問(wèn)題求解，

解答 解：（Ⅰ）甲為合格品的概率約為：$\frac{45}{60}$=$\frac{3}{4}$，
乙為合格品的概率約為：$\frac{40}{60}$=$\frac{2}{3}$；              …（2分）
（Ⅱ）（1）隨機(jī)變量x的所有取值為190，85，70，-35，而且
P（X=190）=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，P（X=85）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=70）=$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，P（X=-35）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	190	85	70	-35
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$

…（6分）
所以：EX=$\frac{190}{2}+\frac{85}{4}+\frac{70}{6}-\frac{35}{12}$=125，…（8分）
（2）設(shè)生產(chǎn)的5件乙中正品有n件，則次品有5-n件，
依題意，90n-15（5-n）≥300，解得：n≥$\frac{25}{7}$，取n=4或n=5，
設(shè)“生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤(rùn)不少于300元”為事件A，則：
P（A）=C₅⁴（$\frac{2}{3}$）⁴$•\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{112}{243}$                   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型的概率分布問(wèn)題，確定隨機(jī)變量的取值，關(guān)鍵是確定事件得出相應(yīng)的概率，分清題意．