Question

函數f（x）=x³+bx²+cx+d，x∈（0，1）時取極大值，x∈（1，2）取極小值，則（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,簡單線性規(guī)劃的應用

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：據極大值點左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a，b的約束條件，據線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數f（x）在x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取極小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）內各有一個根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

c＞0 3+2b+c＜0 12+4b+c＞0

，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，
（b+

1

2

）²+（c-3）²的幾何意義表示點G（-

1

2

，3）與可行域內的點連線的距離的平方，
點G（-

1

2

，3）到直線3+2b+c=0的距離為d=

|- 1 2 ×2+3+3|

22+1

=

5

5

=

5

，此時（b+

1

2

）²+（c-3）²最小為5，
由

12+4b+c=0 3+2b+c=0

，解得

b=- 9 2 c=6

，即A（-

9

2

，6），
此時AG的距離最大為AG=5，此時（b+

1

2

）²+（c-3）²最大為25，
∴（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25），
故答案為：（5，25）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數極值的能力，根據函數導數的定義將條件轉化為不等式組，利用線性規(guī)劃的知識結合兩點間的距離公式進行求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．